10.已知在数列{an}中，a1=2,且对任意自然数n,an与a<n+1>是关于x的方程x^2-kx+(1/3)^n=0的两个

an与a<n+1>是关于x的方程x^2-kx+(1/3)^n=0的两个实根
则an+a<n+1>=k
a1=2 a2=k-2
a3=k-a2=2 a4=k-2
.
.
.
.
a(2n-1)=2 a(2n)=k-2
{an}的前15项中所有奇数项和
a1+a3+...+a15=8*2=16

解：由已知条件，得
k^2-4*(1/3)^n≥0,k^2≥4/3
An*A(n+1)=(1/3)^n，An+A(n+1)=k
讨论：
（1）An*A(n+1)=(1/3)^n
A1=2，A(n+1)=(1/3)^n/An
n=1,A2=(1/3)/2=1/6
n=2,A3=(1/3)^2/(1/6)=2/3
n=3,A4=(1/3)^3/(2/3)=1/18
n=4,A5=(1/3)^4/(1/18)=2/9
n=5,A6=(1/3)^5/(2/9)=1/54
n=6,A7=(1/3)^6/(1/54)=2/27
A9=2/81,A11=2/243,A13=2/729,A15=2/2187
{an}的前15项中所有奇数项和=S
S=2+2/3+2/9+2/27+2/81+2/243+2/729+2/2187
3S=6+2+2/3+2/9+2/27+2/81+2/243+2/729
3S-S=6-2/2187
2S=6-2/2187
S=3-1/2187=6560/2187
（2）An+A(n+1)=k
A1=2,A2=k-2
A3=k-A2=2
A4=k-2
A5=2,A7=2,A9=2,A11=2,A13=2,A15=2
{an}的前15项中所有奇数项和=S
S=2*8=16
有两种不同的答案，可知题目有问题，没有出好。
答：{an}的前15项中所有奇数项和=6560/2187
或=16